以前からさくらインターネットから依頼メールが届いていたのだ。

さくらのレンタルサーバでご利用中のMySQL5.5,5.1データベースのMySQL5.7へアップデートのお願いとなります。MySQL5.5以下のデータベースは既に提供元からのサポートが終了しており、セキュリティに関する脆弱性が発見されてもサポートを受けられないソフトウェアです。

ようやく重い腰を上げて手を付けた。この手順で大丈夫だった。
データベースをアップグレードしたい | さくらのサポート情報

ただわたしは自動アップグレードで１度こけたのでサポートに駆け込んだ。
エラーとなったテーブルがMySQL5.1以降のいずれかのバージョンでサポートされなくなった拡張機能を使用しているのが原因だった。もっと言えば「WordTwit Twitter Plugin」の利用歴があるのがその原因。（削除済みでも同様）
「＜接頭語＞tweet_urls」のテーブルを検索して削除してもう一度自動アップグレード予約して、今度こそちゃんと完了したらwp-config.phpを編集して終了。
ついでにこのエントリでちゃんと動作していることを確認してから古いデータベースは削除した。